设想当初的数学家，怎样着手求解微分方程？这就是我要讲的微分方程的故事（纯属虚构）。在微分方程解法形成之前，估计要靠猜的。所谓“大胆假设、小心求证”，猜也是有讲究的。
下面左图是电容放电的电路，右式是其电路方程。这个方程要解在放电过程中，电容电压的时间函数。这个方程是要找一个函数，而不是找一个数值，这是微分方程与代数方程的区别。
这个微分方程的几何意义是，什么样的函数与其导函数线性叠加以后，可以恒等于0？ 不妨作图，尝试几个初等函数，比如幂函数，三角函数，如何拼凑系数，使得导函数与原函数的组合恒等于0呢？你会发现尝试是徒劳的。如果是指数函数呢？似乎看到了希望，因为指数函数的导数仍然是指数函数，两个相同类型的函数的线性组合是可以恒等于0的。不妨可以：
指数函数显然不可能恒等于0，要上式成立，就得让括号内的式子等于0，于是有方程 RCp+1=0 ，这就是特征方程。（这个方程为什么叫特征方程，你可以联想一下《线性代数》里面的特征向量和特征值）。
由特征方程求出p，再将t=0代入就可以求出A，确定出两个参数，微分方程得解。把这个求解微分方程的过程封装起来，得到一阶电路分析的“三要素法”。求出三要素（初始值、稳态解、时间常数）代入“全响应公式”就可以解一阶电路，三要素和全响应公式都有很明确和直观的物理意义。所以，求解一阶电路，可以不必了解微分方程。
但是对于二阶电路呢，还有三要素法吗？听我继续讲微分方程的故事吧：
下面左图是二阶电路，右边列电路方程，得到二阶微分方程。
仍然可以：
有没有发现？假设好像出问题了。按此假设得到了两个解，这毕竟不是量子力学，还没轮到上帝来掷筛子的时候。先不要慌，假设如果错了，别急着推倒重来，不妨作点修补的努力吧，不妨：
这个修正很巧妙，把两个可能的解组合成一个解，创造出了“有解”且“解唯一”的条件。上面的待定系数（A1,A2,p1,p2）如果能求出来，二阶微方方程就得解了吗？
还有一个问题：特征方程没有实根怎么办？你能说RLC取某个参数时，电压实际不存在吗？然而通过实验发现，电压的波型不仅存在，而且有明显的规律。特征方程没有实根时，电容的电压波型大概是这样的：
指数函数作为解的解设被这个实验推翻了吗？这个实验似乎提醒了我们一个被忽略的事实：除了指数函数的导函数与原函数有相同型式，正弦函数似乎也有这个特性，只不过其不变性没有指数函数那么完美。正弦函数的一阶导数，仍然是同频率正弦函数，但是其相位相差了90度。正弦函数和其一阶导函数（两个相位差90度的正弦函数）是不可能组合成0的。但是，二阶导函数就不一样了，两次相差90度就是180度，相当于加个负号，也就是说正弦函数的二阶导函数与原函数的形式完全一样。
如果数学家当时正为此迷惑时，我想欧拉已经提出了著名的欧拉公式了。
其几何意义，在复平面上容易画出来。原来，实数域的指数函数和正弦函数，放在复数域讨论，其实都是复指数函数。又一次危机化解了，刚才的修正假设不必再修正，更准确的表述应该是，二阶微分方程的通解是两个复指数函数的组合。
还是一阶方程的套路，利用特征方程求出p1,p2，再利用初始值求出A1,A2。虚指数函数，不是实函数，不能作为求解的最终结果，利用欧拉公式进行变换，得到(负)实指数函数与正弦函数的乘积，上面的衰减振荡波型得到了应证。
然而，新问题又出现了。在两个相等实根的情况下，A1,A2系数解不出来。好吧，是该适时翻翻书的时候了，书上说了，这时可以利用上述两种情况，用求极限的方式求出解的形式。总之：
前面讨论了二阶电路的零输入响应，应用二阶常系数齐次微分方程求解的过程的来龙去脉。关于零状态响应和全响应，应用非齐微分方程求解时，按照：”一般解=特解+通解“ 的形式求解。
后记：
《高等数学》对于后续课程的基础性地位是毋庸置疑的。例如《电路》中的二阶动态电路的分析，涉及的概念和公式较多、计算量大，一直以来是教学中的一大难点。有的同学说，因为我没有把高数学扎实，特别是其中的微分方程就没有搞懂，所以根本学不懂二阶动态电路。但其实，你也可以反过来想一下，你现在把二阶电路弄明白，然后回过头去再看看当初学的微分方程，其实也并不难嘛。反思我们的数学学习经历，严谨有余，直观不足，是当前数学教学中的普遍问题。